Question

當兔子和狐貍處于同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數量和狐貍數量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設：（1）由于自然繁殖，兔子數每年增長10%，狐貍數每年減少15%；（2）由于狐貍吃兔子，兔子數每年減少狐貍數的0.15倍，狐貍數每年增加兔子數的0.1倍；（3）第n年時，兔子數量用表示，狐貍數量用表示；（4）初始時刻（即第0年），兔子數量有只，狐貍數量有只。請用所學知識解決如下問題：

（1）列出兔子與狐貍的生態模型（、的關系式）；

（2）求出、關于n的關系式；

（3）討論當n越來越大時，兔子與狐貍的數量是否能達到一個穩定的平衡狀態，說明你的理由。

Answer 1

解：⑴

   ⑵設，  

∴=……=

又矩陣M的特征多項式  =

令得：

特征值對應的一個特征向量為

特征值對應的一個特征向量為

且

∴=

∴

⑶當n越來越大時，越來越接近于0，,分別趨向于常量210,140。即隨著時間的增加，兔子與狐貍的數量逐漸增加，當時間充分長后，兔子與狐貍的數量達到一個穩定的平衡狀態。