Question

當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設(shè)：(1)由于自然繁殖，兔子數(shù)每年增長10％，狐貍數(shù)每年減少15％；(2)由于狐貍吃兔子，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍；(3)第n年時，兔子數(shù)量R_n用表示，狐貍數(shù)量用F_n表示；(4)初始時刻(即第0年)，兔子數(shù)量有R₀＝100只，狐貍數(shù)量有F₀＝30只．請用所學(xué)知識解決如下問題：

(1)列出兔子與狐貍的生態(tài)模型(R_n、F_n的關(guān)系式)；

(2)求出R_n、F_n關(guān)于n的關(guān)系式；

(3)討論當(dāng)n越來越大時，兔子與狐貍的數(shù)量是否能達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，說明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)　2分 　　(2)設(shè)，　 　　∴＝……＝ 　　又矩陣M的特征多項式　＝ 　　令得：　4分 　　特征值對應(yīng)的一個特征向量為 　　特征值對應(yīng)的一個特征向量為　6分 　　且 　　∴＝ 　　∴　8分 　　(3)當(dāng)n越來越大時，越來越接近于0，，分別趨向于常量210，140．即隨著時間的增加，兔子與狐貍的數(shù)量逐漸增加，當(dāng)時間充分長后，兔子與狐貍的數(shù)量達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)．　10分