Question

已知函數.
（Ⅰ）討論函數的單調性；
（Ⅱ）設,證明：對任意,總存在,使得.

Answer 1

（1）f(x)在(1,2)單調遞減函數，f(x)在(2,+∞)單調遞增函數；（2）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、不等式等基礎知識，考查函數思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，先對求導，而分子還比較復雜，所以對分子進行二次求導，導數非負，所以分子所對函數為增函數，而，所以在上，在上，所以在為負值，在上為正值，所以得出的單調性；第二問，先對已知進行轉化，轉化為恒成立，而，即轉化為恒成立，再次轉化為，通過求導判斷函數的單調性，判斷的正負.
試題解析：（1）       1分
設,
∴在是增函數，又                     3分
∴當時, ,則,是單調遞減函數;
當時, ,則,是單調遞增函數.
綜上知：在單調遞減函數，
在單調遞增函數                   6分
（2）對任意，總存在,使得恒成立
等價于恒成立,而,即證恒成立.等價于,
也就是證                               8分
設,             10分
∴在單調遞增函數,又
∴當時,,則
當時,,則
綜上可得：對任意,總存在,
使得.                               12分
考點：1.利用導數判斷函數的單調性；2.恒成立問題.