Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的虛軸端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)在與此焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上，PQ是雙曲線的一條垂直于實(shí)軸的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．則

.

OP

•

.

OQ

等于（　　）

A．0

B．a(chǎn)²

C．-a²

D．2a²

Answer 1

分析：首先根據(jù)雙曲線虛軸端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)在與此焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和準(zhǔn)線方程表達(dá)式，計(jì)算出c²=2a²，從而得到a²=b²，雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1．然后可以設(shè)出垂直于實(shí)軸的弦PQ端點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式結(jié)合雙曲線方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得則

.

OP

•

.

OQ

等于a²．

解答：解：設(shè)A（0，-b）為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)（c，0）是雙曲線的右焦點(diǎn)
∵虛軸端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)在與此焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上
∴AF中點(diǎn)G在右準(zhǔn)線：x=

a2

c

上
∴

xG= 1 2 (0+c)= a2 c yG= 1 2 (-b+0)=- b 2

⇒

1

2

c=

a2

c

⇒c²=2a²
∵c²=a²+b²
∴a²=b²⇒雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1
∵PQ是雙曲線的一條垂直于實(shí)軸的弦
∴可以設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀）
且

x02

a2

-

y02

a2

=1⇒x0 2-y02=a2
由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式得：

.

OP

•

.

OQ

=x₀•x₀+y₀•（-y₀）=x0 2-y02=a2
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)為載體，著重考查了向量的數(shù)量積和雙曲線的基本概念等知識(shí)點(diǎn)，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．