Question

已知函數f（x）=

1-x

ax

+lnx（x＞0）．
（1）當a=1時，求f（x）在[

1

2

，2]上的最小值；
（2）若函數f（x）在[

1

2

，+∞）上為增函數，求正實數a的取值范圍；
（3）若關于x的方程1-x+2xlnx-2mx=0在區間[

1

e

，e]內恰有兩個相異的實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，可求得f（x）、f′（x），由f′（x）=0，得x=1，求出函數的極值、端點處函數值，然后進行比較即可；
（2）利用導數求出f（x）的增區間，由題意可知[

1

2

，+∞）為增區間的子集，由此可得a的范圍；
（3）方程可變為

1-x

2x

+lnx=m，則問題等價于函數g(x)=

1-x

2x

+lnx的圖象與函數y=m的圖象在區間[

1

e

，e]內恰有兩個交點．利用導數研究函數g（x）的性質、極值、端點處函數值，畫出草圖，借助圖象可得m的范圍；

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=

1

x

+lnx-1，f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
令f′（x）=0，得x=1，
于是，當

1

2

＜x＜1時，f′（x）＜0，當1＜x＜2時，f′（x）＞0，
所以當x=1時f（x）取得極小值，且f（1）=0，
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=ln2-

1

2

，
所以當x=1時函數f（x）取得最小值0．
（2）f′(x)=

1

x

-

1

ax2

=

ax-1

ax2

，
因為a為正實數，由定義域知x＞0，
所以函數的單調遞增區間為[

1

a

，+∞)，
又函數f（x）在[

1

2

，+∞)上為增函數，所以0＜

1

a

≤

1

2

，
所以a≥2；
（3）方程1-x+x2lnx-2mx=0在區間[

1

e

，e]內恰有兩個相異的實數根，
推得方程

1-x

2x

+lnx-m=0在區間[

1

e

，e]內恰有兩個相異的實數根，即方程

1-x

2x

+lnx=m在區間[

1

e

，e]內恰有兩個相異的實數根，
則函數g(x)=

1-x

2x

+lnx的圖象與函數y=m的圖象在區間[

1

e

，e]內恰有兩個交點．
考察函數g(x)=

1-x

2x

+lnx，g′(x)=-

1

2x2

+

1

x

=

2x-1

2x2

，則g（x）在區間[

1

e

，

1

2

]為減函數，在[

1

2

，e]為增函數，
則有：g(e)=

1-e

2e

+lne=

1-e

2e

+1=

1+e

2e

＞0，
g(

1

2

)=

1- 1 2

2× 1 2

+ln

1

2

=

1

2

-ln2＜0，
g（

1

e

）=

1- 1 e

2× 1 e

+ln

1

e

=

e-1

2

-1=

e-3

2

＜0＜g（e），
畫函數g(x)=

1-x

2x

+lnx，x∈[

1

e

，e]的草圖，要使函數g(x)=

1-x

2x

+lnx的圖象與函數y=m的圖象在區間[

1

e

，e]內恰有兩個交點，
則要滿足g(

1

2

)＜m≤g(

1

e

)，
所以m的取值范圍為{m|

1

2

-ln2＜m≤

e-3

2

}．

點評：本題考查利用導數研究函數的最值、函數的單調性及函數的零點問題，考查函數思想、數形結合思想、轉化思想．