Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn=﹣an﹣（ ）n﹣1+2（n∈N*），數列{bn}滿足bn=2nan ．
（Ⅰ）求證數列{bn}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=log2 ，數列{ }的前n項和為Tn ， 求滿足Tn （n∈N*）的n的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵Sn=﹣an﹣（ ）n﹣1+2（n∈N+），當n≥2時，Sn﹣1=﹣an﹣1﹣（ ）n﹣2+2（n∈N+），
∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣an+an﹣1+（ ）n﹣1 ，
化為2nan=2n﹣1an﹣1+1．
∵bn=2nan ． ∴bn=bn﹣1+1，即當n≥2時，bn﹣bn﹣1=1．
令n=1，可得S1=﹣a1﹣1+2=a1 ， 即a1= ．
又b1=2a1=1，∴數列{bn}是首項和公差均為1的等差數列．
于是bn=1+（n﹣1）1=n=2nan ，
∴an= ．
（Ⅱ）解：∵cn=log2 =n，
∴ = ﹣ ，
∴Tn=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…（ ﹣ ）=1+ ﹣ ﹣ ，
由Tn ，得1+ ﹣ ﹣ ，即 + ＞ ，
∵f（n）= + 單調遞減，f（4）= ，f（5）= ，
∴n的最大值為4．
【解析】（Ⅰ）利用“當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1”及其等差數列的通項公式即可得出．（Ⅱ）先求通項，再利用裂項法求和，進而解不等式，即可求得正整數n的最大值．