Question

已知函數．
（1）當時，求函數的極值；
（2）若函數在區間上是減函數，求實數的取值范圍；
（3）當時，函數圖像上的點都在所表示的平面區域內，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）當時，函數取得極大值；（2）；（3）.

試題分析：（1）將代入函數解析式，直接利用導數求出函數的單調遞增區間和遞減區間，從而可確定函數的極值；(2)將條件“在區間上為減函數”等價轉化為“不等式在區間上恒成立”，結合參數分離法進一步轉化為，從中根據二次函數的圖像與性質求出在上的最小值即可解決本小問；（3）因函數圖像上的點都在所表示的平面區域內，則當時，不等式恒成立，即恒成立，設（），只需即可，轉化思想的運用.
試題解析：（1）當時，

由，由
故當時，單調遞增；當時，單調遞減
所以當時，函數取得極大值          4分
（2），∵函數在區間上單調遞減
∴在區間上恒成立，即在上恒成立，只需不大于在上的最小值即可            6分
而，則當時，
∴，即，故實數的取值范圍是．         8分
（3）因圖像上的點在所表示的平面區域內，即當時，不等式恒成立，即恒成立，設（），只需即可．
由，
（ⅰ）當時，，當時，，函數在上單調遞減，故成立．                                  9分
（ⅱ）當時，由，令，得或，
①若，即時，在區間上，，函數在上單調遞增，函數在上無最大值，不滿足條件；
②若，即時，函數在上單調遞減，在區間上單調遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件．               11分
（ⅲ）當時，由，因，故，則函數在上單調遞減，故成立．
綜上所述，實數的取值范圍是．                 12分