Question

如圖所示，某城市有南北街道和東西街道各n+1條，一郵遞員從該城市西北角的郵局A出發，送信到東南角B地，要求所走路程最短．
（1）求該郵遞員途徑C地的概率f（n）；
（2）求證：2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3，（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）郵遞員從該城市西北角的郵局A到達東南角B地，要求所走路程最短共有種不同的走法，其中途徑C地的走法有2種走法，
所以郵遞員途徑C地的概率f（n）==•=．
（2）由2f（n）==1+，得[2f（n）]²ⁿ⁺¹=．
要證 n∈N^*時，2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3，
只要證 n∈N^* 時，2＜＜3，
因為 n∈N^* 時，2n+1∈N^*，且 2n+1≥3，
所以只要證 n∈N^* 時，且n≥3 時，2＜＜3．
由于n≥3 時，=+•+•+…+•＞+•=2，
且 =+•+•+…+•=2+•+•+…+•
=2+++…+＜2+++…+
＜2++++…+=2++++…+=3-＜3．
綜上可得：2＜＜3 成立，即 2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3成立．
分析：（1）求得所走路程最短共有種不同的走法，其中途徑C地的走法有2種走法，由此可得郵遞員途徑C地的概率f（n） 的值．
（2）由2f（n）==1+，得只要證且n≥3 時，2＜＜3 即可．利用放縮法證明 2＜，＜3，從而證明不等式成立．
點評：本題主要考查排列、組合以及二項式定理的應用，等可能事件的概率，用放縮法證明不等式，屬于難題．