Question

向量

a

=(sinωx+cosωx，1)，

b

=(f(x)，sinωx)，其中0＜ω＜1，且

a

∥

b

．將f（x）的圖象沿x軸向左平移

π

4

個單位，沿y軸向下平移

1

2

個單位，得到g（x）的圖象，已知g（x）的圖象關于(

π

4

，0)對稱．
（1）求ω的值；
（2）求g（x）在[0，4π]上的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）通過

a

∥

b

推出函數(shù)f（x）的表達式，化簡為 一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用圖象變換后關于(

π

4

，0)對稱，求出ω的值．
（2）由（1）得到g（x），利用正弦函數(shù)的單調增區(qū)間求出函數(shù)的單調增區(qū)間，然后求出g（x）在[0，4π]上的單調遞增區(qū)間．

解答：解：（1）因為

a

∥

b

，所以f（x）=sinωx（sinωx+cosωx）=sin²ωx+sinωxcosωx=

1

2

（1-cos2ωx）+

1

2

sin2ωx=

1

2

+

2

2

sin(2ωx-

π

4

)
而g（x）=

2

2

sin[2ω(x+

π

4

)-

π

4

]關于(

π

4

，0)對稱，所以

2

2

sin[2ω(x+

π

4

)-

π

4

]=0，2ω(x+

π

4

)-

π

4

=kπ，k∈Z
∴ω=k+

1

4

，由k∈Z，0＜ω＜1得ω=

1

4

．
（2）g（x）=

2

2

sin (

x

2

-

π

8

)．由-

π

2

+2kπ≤ 

x

2

-

π

8

≤ 2kπ+

π

2

  k∈Z
得-

3π

4

+4kπ≤x≤

5π

4

+4kπ  k∈Z又x∈[0，4π]且k=0時，-

3π

4

≤x≤

5π

4

，k=1時

13π

4

≤x≤

21π

4

，
所以g（x）在[0，4π]上的單調遞增區(qū)間為[0，

5π

4

]，[ 

13π

4

，4π]

點評：本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的化簡求值，三角函數(shù)的圖象的變換，正弦函數(shù)的單調性的應用，考查計算能力，常考題型．