Question

已知向量a=(sinωx，cosωx)，b=(cosωx，

3

cosωx)（ω＞0），函數(shù)f(x)=

a

•

b

-

3

2

的最小正周期為π．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（II）如果△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C，且滿足b2+c2=a2+

3

bc，求f（A）的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數(shù)量積公式、二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)．利用f（x）的最小正周期為π，可求ω的值，從而可得函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)f（x）的增區(qū)間；
（II）由b2+c2=a2+

3

bc，及cosA=

b2+c2-a2

2bc

，可求得A=

π

6

，進(jìn)而可求f（A）的值．

解答：解：（I）f(x)=

a

•

b

-

3

2

=sinωxcosωx+

3

cos2ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx
=sin(2ωx+

π

3

)…（3分）
∵f（x）的最小正周期為π，且ω＞0．
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1，…（4分）
∴f(x)=sin(2x+

π

3

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z…（5分）
得f（x）的增區(qū)間為[-

5

12

π+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)…（6分）
（II）由b2+c2=a2+

3

bc，∴b2+c2-a2=

3

bc，
又由cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3 bc

2bc

=

3

2

…（8分）
∴在△ABC中，A=

π

6

…（9分）
∴f(A)=sin(2×

π

6

+

π

3

)=sin

2π

3

=

3

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，考查數(shù)量積公式的運(yùn)用，考查余弦定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)．