Question

已知函數(shù)f（x）是R上周期為2的偶函數(shù)，且0≤x≤1時(shí)，f（x）=x³-

1

3

，則函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間（-2，2）上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：分析0≤x≤1時(shí)，f（x）=x³-

1

3

的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可得在區(qū)間[0，1]上函數(shù)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的奇偶性及周期性，可得圖象在區(qū)間（-2，2）上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)得到答案．

解答：解：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x³-

1

3

為增函數(shù)，且f（0）=-

1

3

＜0，f（1）=

2

3

＞0，故在區(qū)間[0，1]上函數(shù)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故在區(qū)間[-1，0]上函數(shù)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，
又∵函數(shù)f（x）是R上周期為2的周期函數(shù)，則在一個(gè)周期上函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
故在區(qū)間（-2，2）上函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)
即函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間（-2，2）上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性，是函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用．