Question

已知函數f（x）是R上偶函數，對于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，f（x）在區間[0，3]上是增函數，則f（x）在[-9，9]上零點個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由題意令x=-3，可得f（-3）=0，進而可得f（3）=0，代入可得f（x）是以6為周期的函數，結合單調性可作出函數的大致圖象，易得零點的個數．

解答：解：在f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=-3可得，f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0，
由函數y=f（x）是R上偶函數，可得f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）+f（-3）=f（x），即f（x）是以6為周期的函數，
又由函數y=f（x）是R上偶函數，f（x）在[0，3]上為單調增函數，則f（x）在[-3，0]上為減函數，
由以上性質可作出函數的圖象，

由圖可知，f（x）在[-9，9]上零點個數是4，
故選D．

點評：本題考查抽象函數的應用，涉及函數奇偶性，單調性的應用；關鍵是根據題意，分析出f（x）的周期性、單調性以及f（3）的值，屬中檔題．