Question

已知命題p：“直線x+y-a=0與圓（x-1）²+y²=1有公共點(diǎn)”，命題q：函數(shù)f（x）=ax²+ax+1沒有零點(diǎn)，若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：當(dāng)p為真命題時(shí)，聯(lián)立

x+y-a=0 (x-1)2+y2=1

，則2x²-2（a+1）x+a²=0有實(shí)數(shù)根，可得△≥0，解出即可；當(dāng)q為真命題時(shí)，分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，方程無實(shí)根符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，△＜0解得a的取值范圍．由命題p∧q為假命題，p∨q為真命題可知，命題p與命題q有且只有一個為真．即可得出．

解答： 解：當(dāng)p為真命題時(shí)
由

x+y-a=0 (x-1)2+y2=1

，則2x²-2（a+1）x+a²=0，
∴△=4（a+1）²-8a²≥0
∴1-

2

≤a≤1+

2

．
當(dāng)q為真命題時(shí)，
①當(dāng)a=0時(shí)，方程無實(shí)根符合題意；
②當(dāng)a≠0時(shí)，△=a²-4a＜0解得0＜a＜4，
∴0≤a＜4．
由命題p∧q為假命題，p∨q為真命題可知，命題p與命題q有且只有一個為真．
當(dāng)p真q假時(shí)，

1- 2 ≤a≤1+ 2 a＜0或a≥4

，∴1-

2

≤a＜0；
當(dāng)p假q真時(shí)   

a＜1- 2 或a＞1+ 2 0≤a＜4

，∴1+

2

＜a＜4．
綜合得：1-

2

≤a＜0或1+

2

＜a＜4．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、函數(shù)的零點(diǎn)、復(fù)合命題真假的判定，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．