Question

【題目】已知AB是圓O的直徑，C，D是圓上不同兩點，且CD∩AB＝H，AC＝AD，PA⊥圓O所在平面．

(Ⅰ)求證：PB⊥CD；

(Ⅱ)若PB＝，∠PBA＝，∠CAD＝，求H到平面PBD的距離．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由AB是圓O的直徑知∠ACB=∠ADB=90°，從而證明PB⊥CD．（Ⅱ）過點P作PB的垂線，過點H作PB的垂線，分別交PB于點E，F；求出H到平面PBD的距離．

試題解析：

(Ⅰ)證明：∵AB是圓O的直徑，

∴∠ACB＝∠ADB＝，

∵AC＝AD，∴Rt△ACB≌Rt△ADB，∴AB⊥CD，

又∵PA⊥圓O所在平面，CD在圓O所在平面內，

∴PA⊥CD，

∵PA∩AB＝A，∴CD⊥平面PAB，∴PB⊥CD.

(Ⅱ)解：過點A作PB的垂線，過點H作PB的垂線，分別交PB于E，F，

∵Rt△PAB中，∠PBA＝，PB＝2，

∴PA＝AB＝2，∴AE＝ABsin＝2·＝，

又∵∠CAB＝∠DAB＝，∴AC＝1，AD＝1

∵CH⊥AH，∴AH＝，

∴BH＝，HD＝，BD＝，PD＝

∴VH－PBD＝VP－HDB＝××××2＝

S△PBD＝××＝，

∴H到平面PBD的距離為＝.