Question

已知(

a

x

+

x 2

)9的展開式中x³的系數為

9

4

，則關于t的不等式at²-4t-3＜0的解集為

{x|-

1

2

＜x＜

3

2

}

．

Answer 1

分析：在 (

a

x

+

x 2

)9的展開式的通項公式中，令x的系數等于3，求得 (

a

x

+

x 2

)9的展開式中x³的系數，根據它等于

9

4

，求出a的值，解關于t的不等式at²-4t-3＜0，求出其解集．

解答：解：由于 (

a

x

+

x 2

)9的展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 9

(ax-1)9-r(

x

2

)

r

2

=(

1

2

)

r

2

C

r 9

a9-rx

3r

2

-9，令

3

2

 r-9=3，可得 r=8．
故 (

a

x

+

x 2

)9的展開式中x³的系數為 (

1

2

)4

C

8 9

a9-8=

a

16

=

9

4

，∴a=4．
則關于t的不等式at²-4t-3＜0 即 4t²-4t-3＜0，∴-

1

2

＜t＜

3

2

，故不等式的解集為 {x|-

1

2

＜x＜

3

2

}，
故答案為：{x|-

1

2

＜x＜

3

2

}．

點評：本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．