Question

（09年東城區二模理）（14分）

如圖，在三棱錐中，底面是邊長為4的正三角形,側面底面，,分別為的中點.

（Ⅰ）求證:;

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

解

解析: (Ⅰ)取的中點,連結.

        ,

        .又平面平面,且平面,

        平面.故在平面內的射影為,

        .                                            …………………6分

   (Ⅱ)取的中點,作交于,連結，.

      在△中,分別為的中點,

     ∥.又平面,

     平面,由得.

     故為二面角的平面角.       ……………………9分

    設與交于,則為△的中心,

     .又,,

    ∥,.

在△中可得,

在△中,，

    在Rt△中,.

.

   二面角的大小為.               ………………14分

解法二: (Ⅰ) 取的中點,連結.

        ,

        .

又平面平面,且平面,

        平面.

        如圖所示建立空間直角坐標系,

 

 

則.

.

則,

.                              ………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得設=為平面的一個法向量,

  取,得.

 .又為平面的法向量,

＜＞=.

二面角的大小為.                      ………………14分