Question

已知f(x)=2sin(

π

4

+

x

2

)sin(

π

4

-

x

2

)+

sin2x

2cosx

（I）若f(α)=

2

2

，α∈(-

π

2

，0)，求α的值；
（II）若sin

x

2

=

4

5

，x∈(

π

2

，π)，求f(x)的值．

Answer 1

分析：（1）先對f（x）進行化簡得到f（x）=

2

sin(x+

π

4

)，再由f（α）的值及α的范圍求出α的值．
（2）先由x的范圍確定

x

2

的范圍，進而可得cos

x

2

和sinx的值，最終求出答案．

解答：解：（I）f(x)=2sin(

π

4

+

x

2

)cos(

π

4

+

x

2

)+

sin2x

2cosx

=sin(

π

2

+x)+sinx=sinx+cosx
=

2

sin(x+

π

4

)
由f(α)=

2

2

，得

2

sin(α+

π

4

)=

2

2

∴sin(α+

π

4

)=

1

2

∵α∈(-

π

2

，0)
∴α+

π

4

∈(-

π

4

，

π

4

)
∴α+

π

4

=

π

6

，∴α=-

π

12

(7分)
（II）∵x∈(

π

2

，π)，∴

x

2

∈(

π

4

，

π

2

)
又sin

x

2

=

4

5

，∴cos

x

2

=

3

5

∴sinx=2sin

x

2

cos

x

2

=

24

25

，cosx=-

1-sin2x

=-

7

25

∴f(x)=sinx+cosx=

24

25

-

7

25

=

17

25

點評：本題主要考查已知三角函數值和范圍來確定角的值的問題．這種湊角的思想在高考中也經常被考到．