Question

如圖,在三棱錐S—ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M為AB的中點.

(1)證明：AC⊥SB;

(2)求二面角S—CM—A的大小;

(3)求點B到平面SCM的距離.

Answer 1

答案：（1）證明：取AC中點O，連結OS、OB.

因為SA=SC,BA=BC,所以AC⊥SO且AC⊥BO.

因為平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,

所以SO⊥面ABC.所以SO⊥BO.

如圖所示,建立空間直角坐標系O—xyz,

則A(2,0,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),B(0,2,0).

所以=（-4，0，0），=（0，-2，2）.

因為·=(-4,0,0)·(0,-2,2)=0,

所以AC⊥BS.

(2)解:由(1)得M(1,,0).

所以=(3,,0),=(2,0,2).

設n=(x,y,z)為平面SCM的一個法向量,

則

取z=1,則x=-1,y=,所以n=(-1,,1).

又=(0,0,2)為平面ABC的一個法向量，

所以cos〈n,〉=.

所以二面角S—CM—A的大小為arccos.

(3)解：由（1）（2），得=（2，2，0），n=(-1,,1)為平面SCM的一個法向量，

所以點B到平面SCM的距離d=.