Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F． （Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF與平面AEF所成的二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD， 又∵AB面PCD，CD面PCD，∴AB∥面PCD
又∵A，B，E，F四點共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴AB∥EF
解：（Ⅱ）取AD中點G，連接PG，GB，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD
∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中點，∴AD⊥GB，
如圖，以G為原點，GA、GB、GP所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系G﹣xyz
由PA=PD=AD=2得，G（0，0，0），A（1，0，0），
， ，D（﹣1，0，0），
又∵AB∥EF，點E是棱PC中點，∴點F是棱PD中點，
∴ ， ， ，
設平面AFE的法向量為 ，
則有 ，∴ ，
不妨令x=3，則平面AFE的一個法向量為 ，
∵BG⊥平面PAD，∴ 是平面PAF的一個法向量，
，
∴平面PAF與平面AFE所成的二面角的正弦值為：
．

【解析】（Ⅰ）推導出AB∥CD，從而AB∥面PCD，由此能證明AB∥EF．（Ⅱ）取AD中點G，連接PG，GB，以G為原點，GA、GB、GP所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系G﹣xyz，利用向量法能求出平面PAF與平面AFE所成的二面角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．