Question

【題目】已知橢圓C： 的右焦點為F，右頂點為A，設離心率為e，且滿足，其中O為坐標原點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點的直線l與橢圓交于M，N兩點，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（1）根據，解得c值，即可得橢圓的方程；

（Ⅱ）聯立l與橢圓C的方程，得,

得， ．所以，又O到l的距離．所以△OMN的面積求最值即可.

試題解析：（Ⅰ）設橢圓的焦半距為c，則|OF| = c，|OA| = a，|AF| = ．

所以，其中，又，聯立解得， ．

所以橢圓C的方程是．

（Ⅱ）由題意直線不能與x軸垂直，否則將無法構成三角形．

當直線l與x軸不垂直時，設其斜率為k，那么l的方程為．

聯立l與橢圓C的方程，消去y，得．

于是直線與橢圓有兩個交點的充要條件是Δ=，這顯然大于0．

設點， ．

由根與系數的關系得， ．所以，又O到l的距離．

所以△OMN的面積． ，那么，當且僅當t = 3時取等．

所以△OMN面積的最大值是．

點睛:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．