Question

【題目】已知函數， ，其中為常數.

（1）當，且時，求函數的單調區間及極值；

（2）已知， ，若函數有2個零點， 有6個零點，試確定的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析.（2）.

【解析】試題分析：（1）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間，根據函數的單調性可得的極值；（2）若函數存在2個零點，則方程有2個不同的實根，設，利用導數研究函數的單調性，結合函數圖象可得，而有6個零點，故方程與都有三個不同的解，可得,結合可得結果.

試題解析：（1）因為，所以，令或（舍）.

當時， ，函數單調遞減； 時， ，函數單調遞增.

因此的極小值為，無極大值.

（2）若函數存在2個零點，則方程有2個不同的實根，設，

則.令，得；

令，得，或， 所以在區間， 內單調遞減，在區間內單調遞增，且當時，令，可得，所以， ； ， ，因此函數的草圖如圖所示，

所以的極小值為.

由的圖象可知.

因為，所以令，得或，即或，

而有6個零點，故方程與都有三個不同的解，所以，且，所以.

又因為， ，所以.