Question

【題目】設函數 .

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）若函數的極大值點為，證明：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）的定義域為，，據此分類討論可得：當時，函數在區間單調遞增；當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；當時，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，原問題等價于證明.構造函數 ，結合導函數的特征再次構造函數，結合函數的性質即可證得題中的結論.

詳解：（Ⅰ）的定義域為，，

當時，，則函數在區間單調遞增；

當時，由得，由得.

所以，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；

當時，由得，由得，

所以，函數在區間上單調遞增，在區間單調遞減.

綜上所述，當時，函數在區間單調遞增；

當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；

當時，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知且時，解得.，

要證，即證，即證：.

令 ，則 .

令，易見函數在區間上單調遞增.

而，，

所以在區間上存在唯一的實數，使得，

即，且時，時.

故在上遞減，在上遞增.

∴ .

又，∴ .

∴成立，即成立.