Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，使得|f（x）|≤M成立，則稱f（x） 是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．已知函數f（x）=4^-x+p•2^-x+1，g（x）=

1-q•2x

1+q•2x

．
（Ⅰ）當p=1時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數，請說明理由；
（Ⅱ）若q∈(0，

2

2

]，函數g（x）在[0，1]上的上界是H（q），求H（q）的取值范圍；
（Ⅲ）若函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=1+（

1

2

）x+（

1

4

）x，可判斷f（x）在（-∞，0）上的單調性，由單調性可得求得f（x）在（-∞，0）上的值域，由值域可判斷函數f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數． 
（Ⅱ）g（x）=

2

1+q•2x

-1，易判斷g（x）在[0，1]上的單調性，由單調性可求得g（x）的值域，進而求得|g（x）|的值域，由上界定義可求得H（q）的范圍；
（Ⅲ）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，即-3≤f（x）≤3恒成立，設t=（

1

2

）x，t∈（0，1]，則轉化為3≤1+pt+t²≤3恒成立，分離參數p后轉化為求函數最值即可解決；

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=1+（

1

2

）x+（

1

4

）x，
因為f（x）在（-∞，0）上遞減，
所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域為（3，+∞），
故不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立．
所以函數f（x）在（-∞，0）上不是有界函數． 
（Ⅱ）g（x）=

2

1+q•2x

-1，∵q＞0，x∈[0，1]，∴g（x）在[0，1]上遞減，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即

1-2q

1+2q

≤g(x)≤

1-q

1+q

，
∵q∈（0，

2

2

]，∴|

1-q

1+q

|≥|

1-2q

1+2q

|，
∴|g（x）|≤|

1-q

1+q

|，
H（q）≥|

1-q

1+q

|，即H（q）的取值范圍為[

1-q

1+q

，+∞）．
（Ⅲ）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
設t=（

1

2

）x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+pt+t²≤3，
∴-（t+

4

t

）≤p≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立，
設h（t）=-t-

4

t

，m（t）=

2

t

-t，則h（t）在（0，1]上遞增；m（t）在（0，1]上遞減，
所以h（t）在（0，1]上的最大值為h（1）=-5；m（t）在（0，1]上的最小值為m（1）=1，
所以實數p的取值范圍為[-5，1]．

點評：本題考查函數的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，正確理解新定義，合理地進行等價轉化．