Question

【題目】對于函數f（x），若存在x∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．已知函數f（x）=ax2+（b+1）x+（b﹣1）（a≠0）．
（1）當a=1，b=2時，求函數f（x）的不動點；
（2）若對任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若f（x）的兩個不動點為x1 ， x2 ， 且f（x1）+x2= ，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2+3x+1，因為x0為不動點，

因此 ，所以x0=﹣1，

所以﹣1為f（x）的不動點

（2）解：因為f（x）恒有兩個不動點，f（x）=ax2+（b+1）x+（b﹣1）=x，

ax2+bx+（b﹣1）=0（※），

由題設b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，

即對于任意b∈R，b2﹣4ab+4a＞0恒成立，

所以（4a）2﹣4（4a）＜0a2﹣a＜0，所以0＜a＜1

（3）解：因為 ，所以 ，

令t=a2∈（0，1），則 ， ，

∴2+ ＞3，可得b= ∈（0， ）

∴

【解析】（1）寫出函數f（x）=x2+3x+1，利用不動點定義，列出方程求解即可．（2）f（x）恒有兩個不動點，得到ax2+（b+1）x+（b﹣1）=x，通過b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，利用判別式得到不等式求解即可．（3）利用定義推出 ，通過換元令t=a2∈（0，1），任何求解b的范圍．