Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，側面PAB為等邊三角形，AB＝BC＝2CD＝2．

（Ⅰ）證明：AB⊥PD；

（Ⅱ）若PD＝2，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，可得，再由線面垂直的判定可得平面，進一步得到.
（Ⅱ）由，，得，再由已知求得，，則點C到平面的距離等于點到平面的距離，證明平面⊥平面，過作，為垂足，可得平面，然后求解三角形得直線與平面所成角的正弦值．

（Ⅰ）證明：取AB的中點E，連接DE，PE，則AB⊥DE，AB⊥PE，

又DE∩PE＝E，∴AB⊥平面PDE，

則AB⊥PD；

（Ⅱ）解：∵AB∥CD，AB⊥PD，∴CD⊥PD，

又CD＝1，PD＝2，故PC．

由已知可得CD∥平面PAB，
∴點C到平面PAB的距離等于點D到平面PAB的距離．

∵AB⊥平面PDE，∴平面PAB⊥平面PDE，
過D作DH⊥PE，H為垂足，

則DH⊥平面PAB，∴PE，DE＝2，

又PD＝2，∴DH．

設PC與平面PAB所成角為θ，則sinθ．

∴直線PC與平面PAB所成角的正弦值為．