Question

如圖1，在y軸的正半軸上依次有點A₁,A₂,…,A_n,…，A₁,A₂的坐標分別為(0,1),(0,10)，且(n=2,3,4,…). 在射線y=x(x≥0)上依次有點B₁,B₂,…,B_n,…，點B₁的坐標為(3,3)，且(n=2,3,4,…).

 (1)用含n的式子表示；

 (2)用含n 的式子分別表示點A_n、B_n的坐標；

 (3)求四邊形面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）∴  =     

（2）∴點A_n的坐標，∴B_n的坐標為（2n+1，2n+1）   

3）∴ S_n的最大值為．     

【解析】（1）由，(n=2,3,4,…)， 知(n=2,3,4,…)，組成以9為首項，3為公比的等比數列，所以=；

（2）因為，由（1）和在y軸的正半軸上依次有點A₁,A₂,…,A_n,…，得，

即點A_n的坐標；由，

得{|OB_n|}是以為首項，為公差的等差數列；利用等差數列的通項公式得

，即得B_n的坐標；（3）把四邊形面積分成兩個三角形的面積的差，根據三角形的面積公式和（2）可求得，研究數列的單調性得到最大值.

（1）∵，

∴  =            ……………………………………4分

（2）由（1）得

∴點A_n的坐標， ……………………………………6分

∵，

∵{|OB_n|}是以為首項，為公差的等差數列

∴

∴B_n的坐標為（2n+1，2n+1）     ……………………………………10分

（3）連接A_n+1B_n+1，設四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n的面積為S_n，

∴ ，即S_n+1＜S_n，

∴ {S_n} 單調遞減數列 

∴ S_n的最大值為．