Question

如圖，角α 的頂點在直角坐標原點、始邊在y軸的正半軸、終邊經過點P（-3，-4）．角β 的頂點在直角坐標原點、始邊在x 軸的正半軸，終邊OQ落在第二象限，且tanβ=-2．
（1）求角α 的正弦值；   
（2）求∠POQ的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意可求得cos （

π

2

+α）=-

3

5

，從而可求得sin（α）的值；
（2）法一：利用∠POQ=（

π

2

+α）-β，利用兩角和的余弦公式，可求得cos∠POQ=cos（

π

2

+α-β）；
法二：由題意結合tanβ=-2，可在角β 的終邊上取一點Q（-1，2），

OQ

=（-1，2），

OP

=（-3，-4），∠POQ是

OQ

與

OP

的夾角，利用向量法即可求∠POQ的余弦值．

解答：解：（1）依題意，角

π

2

+α的頂點在直角坐標原點，始邊在y軸的正半軸、終邊經過點P（-3，-4），…2
∴|OP|=5，…3
∴cos （

π

2

+α）=-

3

5

，…5
∴sinα=

3

5

，即角α 的正弦值為

3

5

．
（2）法一：cos∠POQ=cos（

π

2

+α-β）…8
=cos（

π

2

+α）cosβ-sin（

π

2

+α）sinβ…9
又cos （

π

2

+α）=-

3

5

，sin（

π

2

+α）=-

4

5

…10
∵tanβ=-2，β在第二象限，
∴sinβ=

2

5

，cosβ=-

1

5

，…11
∴cos∠POQ=（-

3

5

）×（-

1

5

）+（-

4

5

）×

2

5

=-

5

5

，…12
（2）法二：∵角β 的頂點在直角坐標原點、始邊在x軸的正半軸，終邊OQ落在第二象限，
且tanβ=-2，
∴可在角β 的終邊上取一點Q（-1，2）．    …（8分）
∴

OQ

=（-1，2），

OP

=（-3，-4），∠POQ是

OQ

與

OP

的夾角． …（9分）
cos∠POQ=

OP • OQ

| OP |×| OQ |

              …（10分）
=

3-8

5 ×5

=-

5

5

．               …（12分）
注：第（1）題以下解法給（3分），∵角α的終邊經過點P（-3，-4），∴|OP|=5，∴sinα=-

4

5

，即角α 的正弦值為-

4

5

．第（2）題根據sinα=-

4

5

，cosα=-

3

5

計算全部正確的給（6分）．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，著重考察誘導公式及的作用及任意角的三角函數的定義，突出三角函數的綜合應用，屬于中檔題．