Question

（本小題滿分13分）
如圖，已知四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AA₁=2。
（I）求證：C₁D//平面ABB₁A₁；
（II）求直線BD₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D—A₁C₁—A的余弦值。

Answer 1

（1）略（2）（3）

（I）證明：四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BB₁//CC₁，
又面ABB₁A₁，所以CC₁//平面ABB₁A₁，                   …………2分
ABCD是正方形，所以CD//AB，
又CD面ABB₁A₁，所以CD//平面ABB₁A₁，                       …………3分
所以平面CDD₁C₁//平面ABB₁A₁，
所以C₁D//平面ABB₁A₁                                                          …………4分
（II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD
因為A₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥AD，A₁D⊥CD，
如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D—xyz，                  …………5分

在中，由已知可得
所以，

            …………6分
因為A₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁
A₁D⊥B₁D₁。
又B₁D₁⊥A₁C₁，
所以B₁D₁⊥平面A₁C₁D，                                                      …………7分
所以平面A₁­C₁D的一個法向量為n=（1，1，0）                   …………8分
設與n所成的角為，
則                                  …………9分
所以直線BD₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值為                 …………10分
（III）解：平面A₁C₁A的法向量為
則
所以
令可得                                                …………12分
設二面角D—A₁C₁—A的大小為a，
則
所以二面角的余弦值為  …………13分