Question

【題目】如圖，已知直線的右焦點，且交橢圓于兩點，點在直線上的射影依次為點.

（Ⅰ）已知拋物線的焦點為橢圓的上頂點。

①求橢圓的方程；

②若直線交軸于點，且，當變化時，求的值；

（Ⅱ）連接，試探索當變化時，直線是否相交于一定點？若交于定點，請求出點的坐標并給予證明；否則說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）定點.

【解析】

（1）①先由已知得以及，即可求出橢圓的方程；

②由直線交軸于點，設，由，知，然后由根與系數的關系能求出的值；
（2）當，求出點的坐標，再猜想：當變化時，相交于此定點．先利用斜率相等證明三點共線同理可得 三點共線，即可證明結論．

（Ⅰ）易知，

,設

又由

，同理

（Ⅱ）,先探索，當m=0時，直線l⊥ox軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交FK中點N，且

猜想：當m變化時，AE與BD相交于定點

證明：設，當m變化時首先AE過定點N

A、N、E三點共線，

同理可得B、N、D三點共線

∴AE與BD相交于定點