Question

【題目】已知x，y，z∈(0，＋∞)，x＋y＋z＝3.

(1)求的最小值；

(2)證明：

Answer 1

【答案】（1）3；（2）

【解析】

(1)根據基本不等式：x+y+z≥3﹣﹣﹣﹣﹣①；++≥3﹣﹣﹣﹣﹣②；再兩式同向相乘即可．

（2）構造柯西不等式：（12+12+12）（x2+y2+z2）=3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2這個條件進行計算即可．

(1) 因為x＞0，y＞0，z＞0，根據基本不等式：

x+y+z≥3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

++≥3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

①②兩式同向相乘得，

（x+y+z）（++）≥（3）（3）=9，

所以，++≥=3，

當且僅當：x=y=z=1時，原式取得最小值，

即++的最小值為3．

(2) 由柯西不等式可得（12+12+12）（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=9，

可得：x2+y2+z2≥3，

即x2+y2+z2的最小值為3.