Question

已知函數f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，2]上恒正，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：空間位置關系與距離

分析：分0＜a＜1和a＞1兩種情況，結合函數f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，2]上恒正，將問題轉化為恒成立問題，求出相應的滿足條件的實數a的取值范圍，最后綜合討論結果，可得答案．

解答： 解：若0＜a＜1，
由函數f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）在[1，2]上恒正可得：
0＜ax²-x+

1

2

＜1在[1，2]上恒成立，
解得：a∈（

1

2

，

5

8

），
若a＞1，
由函數f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）在[1，2]上恒正可得：
ax²-x+

1

2

＞1在[1，2]上恒成立，
解得：a∈（

3

2

，+∞）
綜上所述，實數a的取值范圍為：（

1

2

，

5

8

）∪（

3

2

，+∞），
故答案為：（

1

2

，

5

8

）∪（

3

2

，+∞）

點評：本題考查的知識點是對數函數圖象與性質，恒成立問題，有一定的綜合性，考查了轉化思想，函數也方程思想和分類討論思想，難度中檔．