Question

（2012•黃浦區一模）已知a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，數列{a_n}、{b_n}滿足a₁=1，a₂=-6a，an+1=6an-9an-1(n≥2，n∈N*)，bn=an+1-ban(n∈N*)．
（1）求證數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（3）若{c_n}滿足c₁=1，c₂=5，cn+2=5cn+1-6cn(n∈N*)，試用數學歸納法證明：cn +acn-1=

an

3n-2

(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）通過已知條件求出a，b利用bn=an+1-ban(n∈N*)，通過等比數列的定義證明數列{b_n}是等比數列；
（2）求出數列{b_n}的通項公式，然后利用（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（3）若{c_n}滿足c₁=1，c₂=5，cn+2=5cn+1-6cn(n∈N*)，直接利用數學歸納法的證明步驟，證明：cn +acn-1=

an

3n-2

(n≥2，n∈N*)．

解答：證明（1）∵a＜b，a²-a-6=0，b²-b-6=0，
∴a=-2，b=3，a₂=12．
∵an+1=6an-9an-1(n≥2，n∈N*)，bn=an+1-ban(n∈N*)，
∴b_n+1=a_n+2-3a_n+1
=6a_n+1-9a_n+1-3a_n+1
=3（a_n+1-3a_n）
=3b_n （n∈N^*）．
又b₁=a₂-3a₁=9，
∴數列{b_n}是公比為3，首項為b₁的等比數列．
（2）依據（1）可以，得b_n=3ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
于是，有a_n+1-3a_n=3ⁿ⁺¹（n∈N^*），即

an+1

3n+1

-

an

3n

=1，（n∈N^*）．
因此，數列{

an

3n

}是首項為

a1

31

=

1

3

，公差為1的等差數列．
故

an

3n

=

1

3

+(n-1)•1．
所以數列{a_n}的通項公式是a_n=（3n-2）•3^n-1（n∈N^*）．
（3）用數學歸納法證明：cn +acn-1=

an

3n-2

(n≥2，n∈N*)
（i）當n=2時，左邊：c_n+ac_n-1=c₂-2c₁=3，
右邊：

an

3n-2

=

(3×2-2)•32-1

3×2-2

=3，
即左邊=右邊，所以當n=2時結論成立．
（ii）假設當n=k．（k≥2，k∈N^*）時，結論成立，即ck +ack-1=

ak

3k-2

(k≥2，k∈N*)．
當n=k+1時，左邊=c_k+1+ac_k
=5c_k-6c_k-1-2c_k
=3（c_k-2c_k-1）=3•

ak

3k-2

=3k，
右邊=

ak+1

3(k+1)-2

=

(3(k+1)-2)•3k

3(k+1)-2

=3k．
即左邊=右邊，因此，當n=k+1時，結論也成立．
根據（i）、（ii）可以斷定，
c_n+ac_n-1=

an

3n-2

對n≥2的正整數都成立．

點評：本題考查數學歸納法，等比關系的確定，數列遞推式考查邏輯推理能力，計算能力．