Question

【題目】如圖所示，是某海灣旅游區的一角，其中，為了營造更加優美的旅游環境，旅游區管委會決定在直線海岸和上分別修建觀光長廊和AC，其中是寬長廊，造價是元/米，是窄長廊，造價是元/米，兩段長廊的總造價為120萬元，同時在線段上靠近點的三等分點處建一個觀光平臺，并建水上直線通道（平臺大小忽略不計），水上通道的造價是元/米．

(1) 若規劃在三角形區域內開發水上游樂項目，要求的面積最大，那么和的長度分別為多少米？

(2) 在(1)的條件下，建直線通道還需要多少錢？

Answer 1

【答案】（1）和AC的長度分別為750米和1500米（2）萬元

【解析】

試題（1）設長為米，長為米，依題意得，即，表示面積,利用基本不等式可得結論；（2）利用向量方法，將表示為，根據向量的數量積與模長的關系可得結果.

試題解析：（1）設長為米，長為米，依題意得，

即，

=

當且僅當，即時等號成立，

所以當的面積最大時，和AC的長度分別為750米和1500米

（2）在(1)的條件下，因為．

由

得

，

元

所以，建水上通道還需要萬元．

解法二：在中，

在中，

在中，

=

元

所以，建水上通道還需要萬元．

解法三：以A為原點，以AB為軸建立平面直角坐標系，則，

,即，設

由，求得， 所以

所以，

元

所以，建水上通道還需要萬元．