Question

已知函數，其中為實數；
（1）當時，試討論函數的零點的個數；
（2）已知不等式對任意都成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）當或時，函數有1個零點；
當或時，函數有2個零點；
當時，函數有3個零點； 
（2）

試題分析：(1) 當時，，
由 得  

范圍		1		2
	+	0	-	0	+
	遞增	取極大值	遞減	取極小值	遞增

由上表知：，                             …4分
故 當或時，函數有1個零點；
當或時，函數有2個零點；
當時，函數有3個零點；                                            …7分
（2）解法一：由題意知：對任意都成立
即對任意都成立，
設（），則對任意，為單增函數，
所以對任意，恒成立的充要條件是
即            
于是的取值范圍是                                                     …15分
解法二：由題意知：對任意都成立
即對任意都成立，
于是對任意都成立，即，
于是的取值范圍是                                                     …15分
點評：函數的零點個數即為函數圖象與x軸的交點個數，這就要求考查函數的單調性、最值等，要結合函數的圖象解決問題，而恒成立問題，一般轉化為最值問題解決.