Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣ ，其中a∈R．
（Ⅰ）求證：當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）沒有極值點(diǎn)；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）． 當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣2lnx﹣ ，
函數(shù)f′（x）= ≥0，
所以函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）沒有極值點(diǎn)；
（Ⅱ）f′（x）=1﹣ + = ，x∈（0，+∞）
令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，
①a≤0時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞1，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，a），（1，+∞）；
③當(dāng)a＞1時(shí)，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，1），（a，+∞）；
④當(dāng)a=1時(shí)，
由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，a），（1，+∞）；
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，1），（a，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明結(jié)論即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．