Question

已知數(shù)列、中，，且當(dāng)時(shí)，，.記的階乘.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（3）若，求的前 項(xiàng)和.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）數(shù)列的前項(xiàng)和為.

試題分析：（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇迭代法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列的遞推式的兩邊同時(shí)除以得到，于是得到，從而利用定義證明數(shù)列為等差數(shù)列；（3）在（2）的基礎(chǔ)上求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并分別求出數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)構(gòu)選擇分組求和法，分別對(duì)數(shù)列和數(shù)列進(jìn)行求和，利用裂項(xiàng)法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和，利用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和，然后再將兩個(gè)和相加即可.
試題解析：（1），，，
；
又，所以；
（2）由，兩邊同時(shí)除以得，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，
，故；
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240308422761228.png" style="vertical-align:middle;" />，，
記，，
記的前項(xiàng)和為，
則，             ①
    ②
由②①得，，
∴=.