Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，直線，設圓的半徑為1，圓心在上．

（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線方程；

（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）．

【解析】

（1）先求出圓的標準方程，再根據過一定點求圓的切線問題，先判斷點在圓外，再分切線斜率存在和不存在兩種情況，再利用圓心到切線的距離為半徑，求出切線方程.

（2）根據，求出點的軌跡方程為圓，則為圓和所求軌跡方程圓的交點，再根據兩圓相交的位置關系求出圓心的橫坐標的取值范圍.

解析：聯立，解得，得圓心，又圓的半徑為1，

所以圓的方程為．

因為，所以點在圓外面．

所以過點的圓的切線一定有兩條，

設所求切線的斜率為，則切線方程為，．

圓心到切線的距離為，

由切線性質知，，解得．

所以切線的方程為，得．

又當切線的斜率不存在時，切線方程為，經驗證符合題意，

所以所求切線方程為或．

（2）設，由得，

平方得：．

整理得：．

即滿足的點的軌跡為一圓，圓心為，半徑為2．

又點在圓上，所以只需兩圓有交點即可，即．

由題知，圓心在直線上，所以可設，代入上式可得，

整理得，解得．

綜上所述，實數的取值范圍是．