Question

【題目】過橢圓 =1的右焦點F作斜率k=﹣1的直線交橢圓于A，B兩點，且 共線．
（1）求橢圓的離心率；
（2）當三角形AOB的面積S△AOB= 時，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設AB：y=﹣x+c，直線AB交橢圓于兩點，A（x1，y1），B（x2，y2），

，b2x2+a2（﹣x+c）2=a2b2，

（b2+a2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0，

， ， =（x1+x2，y1+y2），與 = 共線，

可得3（y1+y2）﹣（x1+x2）=0，3（﹣x1+c﹣x2+c）﹣（x1+x2）=0

（2）解：由a2=3b2，可設橢圓的方程為： ，c2=3b2﹣b2=2b2， ，

AB：y=﹣x+ b， ，可得： ，

即 ，

∴ ， ，

AB的距離為：|AB|= = = ，

O到AB距離 ．

，

橢圓方程為

【解析】（1）設AB：y=﹣x+c，A（x1，y1），B（x2，y2），聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理，通過 共線，即可求解橢圓的離心率．（2）利用第一問的結果a2=3b2，設橢圓的方程為： ，AB：y=﹣x+ b，聯立方程組，通過韋達定理求解|AB|，O到AB距離，通過三角形的面積，即可求解橢圓方程．