Question

已知數列{a_n}、{b_n}都是無窮等差數列，其中a₁=3，b₁=2，b₂是a₂與a₃的等差中項，且

lim

n→∞

an

bn

=

1

2

，求極限

lim

n→∞

（

1

a1b1

+

1

a2b2

+…+

1

anbn

）的值．

Answer 1

分析：首先利用等差數列的通項公式和數列極限的計算方法，結合已知條件，可以求出兩數列的公差，從而求出a_n，b_n，進而推出a_n、b_n，然后利用裂項相消法可得

1

a1b1

+

1

a2b2

+…+

1

anbn

的表達式，最后求出其極限．

解答：解：{a_n}、{b_n}的公差分別為d₁、d₂．
∵2b₂=a₂+a₃，即2（2+d₂）=（3+d₁）+（3+2d₁），
∴2d₂-3d₁=2．
又

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

3+(n-1)d1

2+(n-1)d2

=

d1

d2

=

1

2

，即d₂=2d₁，
∴d₁=2，d₂=4．
∴a_n=a₁+（n-1）d₁=2n+1，b_n=b₁+（n-1）d₂=4n-2．
∴

1

anbn

=

1

(2n+1)•(4n-2)

=

1

4

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．
∴原式=

lim

n→∞

1

4

（1-

1

2n+1

）=

1

4

．

點評：本題主要考查數列、數列極限等基本知識，同時考查了分析，推理的能力及運算能力，解題過程中充分運用了裂項求和法．