Question

設函數f（x）=a-

6

2x+1

．
（1）若函數f（x）是奇函數，求實數a的值；
（2）求證：不論a為何實數，函數f（x）是增函數；
（3）若f（1）=2，求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數的值域,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：本題（1）利用函數奇偶性的定義得到相應的恒等式，化簡后，求出參數a的值；（2）利用函數單調性證明出函數是定義域上的增函數，得到本題結論；（3）根據條件f（1）=2，求出a的值，再利用指數函數的值域，求出原函數的值域，得到本題結論．

解答： 解：（1）由題意可知，f(x)+f(-x)=2a-

6

2x+1

-

6

2-x+1

=0，
∴a=

3

2x+1

+

3

2-x+1

=

3+3×2x

2x+1

=3，故a=3；
（2）由題意知，x∈R，
設x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

6(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(2x1+1)(2x2+1)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴不論a為何實數，函數f（x）是增函數；
（3）由f（1）=a-2=2可得，a=4，
∴f(x)=4-

6

2x+1

，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
故-

6

2x+1

∈(-6，0)，
∴f(x)=4-

6

2x+1

∈(-2，4)．

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性和函數的值域，本題難度不大，屬于基礎題．