Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²+n，數列{b_n}滿足b₁=5，b_n+1=2b_n-1（n∈N^*），cn=

1

an•log2(bn-1)

，設數列{c_n}的前n項和為T_n，則T_n與

1

2

的大小關系為

 

．

Answer 1

分析：先由a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求出數列數列{a_n}的通項公式；再由b_n+1=2b_n-1?b_n+1-1=2（b_n-1）進而求出數列{b_n}的通項公式；代入即可求出數列{c_n}的通項以及前n項和T_n的表達式，即可求得結論．

解答：解：由題設知：an=

Sn=2                  (n=1) Sn-Sn-1=2n        (n≥1)

，即a_n=2n；
又由b_n+1-1=2（b_n-1）得{b_n-1}是以5-1=4為首項，2為公比的等比數列，
所以b_n-1=2ⁿ⁺¹，
所以cn=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
故T_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

2

（1-

1

n+1

）＜

1

2

．
故答案為：Tn＜

1

2

點評：本題主要考查已知前n項和為S_n求數列{a_n}的通項公式以及已知遞推關系求通項．已知前n項和為S_n求數列{a_n}的通項公式，根據a_n和S_n的關系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數列的通項公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗證n=1時通項是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，則通項公式為分段函數．