【題目】已知橢圓
的方程為
，橢圓的離心率正好是雙曲線
的離心率的倒數，橢圓的短軸長等于拋物線
上一點
到拋物線焦點
的距離.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線
與橢圓的兩個交點為
，
兩點，已知圓
：
與
軸的交點分別為
，
（點在軸的正半軸），且直線與圓相切，求
的面積與
的面積乘積的最大值.
【答案】（1）
（2）12
【解析】
（1）根據題意分別寫出橢圓的離心率，短軸長，從而得到關于
的方程組，解出的值，得到橢圓方程；（2）根據直線與圓相切，得到
的關系
，分別表示出點
、
到直線
的距離，直線與橢圓聯立，得到
，
，從而表示出
，然后表示出
，代入的關系，利用基本不等式，求出最大值.
解：（1）雙曲線
的離心率為
所以橢圓
的離心率
，
拋物線
的準線為
，
所以拋物線上一點
到拋物線焦點
的距離為
，
所以橢圓的短軸長為
，則
設橢圓的焦距為
，
所以得到，
，解得
，
因此，橢圓的方程為.
（2）由題意知，直線的斜率存在且斜率不為零，不妨設直線的方程為
，
設點
，
，
由于直線與圓
相切，則有
，所以.
點到直線的距離為
，
點到直線的距離為
，
將直線的方程與橢圓的方程聯立
，
消去
并整理得
.
由韋達定理可得
，
.
記
的面積為
，記
的面積為
，
由弦長公式可得
.
所以，
.
當且僅當
時，即當
時，等號成立.
因此，的最大值為12.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，這樣的操作叫做該數列的一次拓展．如數列1，2，經過第1次拓展得到數列1，3，2；經過第2次拓展得到數列1，4，3，5，2；設數列a，b，c經過第n次拓展后所得數列的項數記為
，所有項的和記為
．
（1）求
，
，
；
（2）若
，求n的最小值；
（3）是否存在實數a，b，c，使得數列
為等比數列，若存在，求a，b，c滿足的條件；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
平面
，四邊形是菱形，
，
，且
交于點
，
是
上任意一點.
（1）求證
；
（2）已知二面角
的余弦值為
，若為的中點，求
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數
.
(1)若
是
的兩個不同零點,是否存在實數
,使
成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
(2)設
,函數
,存在
個零點.
(i)求
的取值范圍;
(ii)設
分別是這個零點中的最小值與最大值,求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的一個焦點與拋物線
的焦點重合，且此拋物線的準線被橢圓
截得的弦長為
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線
交橢圓于
、
兩點，線段
的中點為
，直線
是線段的垂直平分線，試問直線是否過定點？若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
的左右焦點為
為它的中心，
為雙曲線右支上的一點，
的內切圓圓心為
，且圓與
軸相切于
點，過
作直線
的垂線，垂足為
，若雙曲線的離心率為
，則（ ）
A.
B.
C.
D.
與
關系不確定
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成績在
內的選手可以參加復活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽．
（1）已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，求a的值及估計這200名參賽選手的成績平均數；
（2）根據已有的經驗，參加復活賽的選手能夠進入第二輪比賽的概率為
，假設每名選手能否通過復活賽相互獨立，現有3名選手進入復活賽，記這3名選手在復活賽中通過的人數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望．
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