Question

已知函數f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，直線m：y=kx+9，又f′（-1）=0．
（1）求函數f（x）=ax³+3x²-6ax-11在區間（-2，3）上的極值；
（2）是否存在k的值，使直線m既是曲線y=f（x）的切線，又是y=g（x）的切線；如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由；
（3）如果對于所有x≥-2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）f'（x）=3ax²+6x-6a，由f'（-1）=0，即3a-6-6a=0，得a=-2．（2分）
∴f（x）=-2x³+3x²+12x-11．令f'（x）=-6x²+6x+12=0，解得x=-1或x=2
當x變化時，f'（x），f（x）在區間（-2，3）上的變化情況如下表：

x	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調遞減	-18	單調遞增	9	單調遞減

從上表可知，當x=-1時，f（x）在區間（-2，3）上有極小值，極小值為-18，當x=2時，f（x）在區間（-2，3）上有極大值，極大值為9．（4分）
（2）∵直線m恒過點（0，9）．
先求直線m是y=g（x） 的切線．設切點為(x0，3

x

20

+6x0+12)，
∵g'（x₀）=6x₀+6．
∴切線方程為y-(3

x

20

+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0)，將點（0，9）代入得x₀=±1．
當x₀=-1時，切線方程為y=9； 當x₀=1時，切線方程為y=12x+9．（6分）
由f'（x）=0得-6x²+6x+12=0，即有x=-1，x=2
當x=-1時，y=f（x）的切線y=-18，
當x=2時，y=f（x）的切線方程為y=9，
∴y=9是公切線，（7分）
又由f'（x）=12得-6x²+6x+12=12
∴x=0或x=1，
當x=0時y=f（x）的切線為y=12x-11；
當x=1時y=f（x）的切線為y=12x-10，
∴y=12x+9不是公切線．（8分）
綜上所述 k=0時y=9是兩曲線的公切線．（9分）
（3）①由kx+9≤g（x）得kx≤3x²+6x+3，當x=0時，不等式恒成立，k∈R；
當-2≤x＜0時，不等式為k≥3(x+

1

x

)+6，而3(x+

1

x

)+6=-3[(-x)+

1

(-x)

]+6≤-3•2+6=0
∴k≥0
當x＞0時，不等式為k≤3(x+

1

x

)+6
∵3(x+

1

x

)+6≥12
∴k≤12
∴當x≥-2時，kx+9≤g（x）恒成立，則0≤k≤12．（11分）
②由f（x）≤kx+9得
當x=0時，9≥-11恒成立，k∈R；當-2≤x＜0時，有k≤-2x2+3x+12-

20

x

，
設h（x）=-2x2+3x+12-

20

x

=-2(x-

3

4

)2+

105

8

-

20

x

，
當-2≤x＜0時-2(x-

3

4

)2+

105

8

為增函數，-

20

x

也為增函數，所以h（x）≥h（-2）=8
故要使f（x）≤kx+9在-2≤x＜0上恒成立，（12分）
由上述過程只要考慮0≤k≤8，則當x＞0時f'（x）=-6x²+16x+12=-6（x+1）（x-2）
在x∈（0，2]時f'（x）＞0，在（2，+∞）時f'（x）＜0，
所以f（x）在x=2時有極大值，即f（x）在上的最大值，又f（2）=9，即f（x）≤9
而當x＞0，k≥0時，f（x）≤kx+9一定成立．
綜上所述0≤k≤8．（14分）