Question

已知點M（x，y）與點A₁（-1，0），A₂（1，0）連線的斜率之積為3．
（I）求點M的軌跡方程；
（II）是否存在點M（x，y）（x＞1），使M（x，y）到點B（-2，0）和點C（0，2）的距離之和最小？若存在，求出點M（x，y）的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先表示出兩連線的斜率，利用其乘積為3建立方程，化簡即可得到點M的軌跡方程．
（II）假設存在點M（x，y）（x＞1），使M（x，y）到點B（-2，0）和點C（0，2）的距離之和最小．由（Ⅰ）可知，點M（x，y）在雙曲線的右支上，利用|MB|+|MC|=|MC|+|MF|+2≥|CF|+2=2+2，當三點C，M，F共線時，|MB|+|MC|取得最小值，將直線CF：x+y=2代入雙曲線，可求點M的坐標．
解答：解：（Ⅰ）直線MA₁和MA₂的斜率分別為與，…（2分）
依題意，點M（x，y）與點A₁（-1，0），A₂（1，0）連線的斜率之積為3
∴，即y²-3x²=-3．
所求軌跡方程為． …（5分）
（Ⅱ）假設存在點M（x，y）（x＞1），使M（x，y）到點B（-2，0）和點C（0，2）的距離之和最小
由（Ⅰ）可知，點M（x，y）在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義知右焦點為F（2，0），…（6分）
∵|CF|=且|MB|-|MF|=2，即|MB|=|MF|+2．…（8分）
所以|MB|+|MC|=|MC|+|MF|+2≥|CF|+2=2+2．…（10分）
當三點C，M，F共線時，|MB|+|MC|最小值為2+2．…（11分）
這時，直線CF：x+y=2代入雙曲線，得2x²+4x-7=0．
解得，
因為x＞1，所以，此時．
因此存在一點M，使|MB|+|MC|最小．…（12分）
點評：本題的考點是雙曲線的簡單性質，主要考查利用坐標建立方程，考查雙曲線的定義，同時考查最值問題的求解，屬于中檔題．