Question

（2010•重慶三模）已知：①函數f（x）-x²-alnx在區間（1，2]上是增函數，②函數g（x）=x-a

x

在區間（0，1]上是減函數．
（Ⅰ）在條件①②下，求a的值；
（Ⅱ）在條件①下，設h（x）=e^2x+|e^x-a|，x∈[0，ln3]，求函數h（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出導函數f'（x），根據題意可知當x∈（1，2]時，f'（x）≥0恒成立，可求出a的取值范圍，同理根據題意可知x∈（0，1]時，g'（x）≤0恒成立，從而求出a的取值范圍，結合兩者可求出a的值；
（Ⅱ）設t=e^x，由x∈[0，ln3]則t∈[1，3]，則m（t）=t²+|t-a|，討論a，利用函數的單調性分別求出函數的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=2x-

a

x

，依題意，當x∈（1，2]時，f'（x）≥0恒成立，
即a≤（2x²）_min⇒a≤2；…①…（3分）
g'（x）=1-

a

2 x

依題意，當x∈（0，1]時，g'（x）≤0恒成立，⇒a≥2；…②…（5分）
由①②得：a=2…（6分）
（Ⅱ）設t=e^x，由x∈[0，ln3]，知t∈[1，3]，則m（t）=t²+|t-a|
當a≤1時，m（t）=t²+t-a在[1，3]上是增函數，
∴m（t）_min=m（1）=2-a…（8分）
當1＜a≤2時，m（t）=

t2-t+a   (1≤t≤a) t2+t-a    (a＜t≤3)

…（10分）
∵m（t）在[a，3]上是增函數，在[1，a]上也是增函數，又m（t）在[1，3]上是連續函數，
∴m（t）在[1，3]上是增函數，
∴m（t）_min=m（1）=a；
綜上所述：h（x）_min=

2-a (a≤1) a     (1＜a≤2)

…（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用導數求閉區間上函數的最值，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．