Question

如圖，△ABC中，延長CB到D，使BD=BC，當E點在線段AD上移動時，若

AE

=λ

AB

+μ

AC

，則t=λ-μ的最大值是

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：

AE

，

AD

共線，所以存在實數k使

AE

=k

AD

，0≤k≤1，根據向量的加法和減法以及B是CD中點，可用

AB

，

AC

表示

AD

為：

AD

=2

AB

-

AC

，所以又可以用

AB

，

AC

表示

AE

為：

AE

=2k

AB

-k

AC

=λ

AB

+μ

AC

，所以根據平面向量基本定理得：

λ=2k μ=-k

，λ-μ=3k≤3，所以最大值是3．

解答： 解：設

AE

=k

AD

=k(

AC

+2

CB

)=k[

AC

+2(

AB

-

AC

)]=2k

AB

-k

AC

，0≤k≤1；
又

AE

=λ

AB

+μ

AC

；
∴

λ=2k μ=-k

；
∴t=λ-μ=3k，0≤k≤1；
∴k=1時t取最大值3．
即t=λ-μ的最大值為3．
故答案為：3．

點評：考查共線向量基本定理，向量的加法、減法運算，以及平面向量基本定理．