Question

已知圓C：(x－4)²＋y²＝4，圓D的圓心D在y軸上，且與圓C外切，圓D交y軸于A、B兩點(A在B的上方)，點P為(－3，0)．

(1)若D(0，3)，求∠APB的正切值；

(2)若D在y軸上運動，當D在何位置時，tan∠APB最大？并求出最大值；

(3)在x軸上是否存在點Q，使當D在y軸上運動時，∠AQB為定值？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由圓C：，知C(4，0)，圓C的半徑為2　　1分 　　又圓C與圓D外切，D(0，3)， 　　∴，圓D的半徑R＝5－2＝3　　3分 　　而圓D截軸于(0，6)、(0，0)兩點，不妨設A(0，6)，B(0，0) 　　∴∠APB＝　　4分 　　(2)當D在軸上運動時，令D(0，)，， 　　圓D的半徑R＝－2，A(0，＋R)，B(0，－R)　　5分 　　∠APB＝∠APC－∠BPC， 　　∴∠APB＝　　7分 　　＝＝＝　　8分 　　≤＝　　9分 　　當D為(0，0)時，∠APB最大，最大值為　　10分 　　(3)設Q(，0)，同(2)中求∠APB的方法一樣可得 　　∠AQB＝為常數 　　　　11分 　　即或或　　12分 　　但當時，若A、B分別在軸兩旁時，∠AQB＝1800， 　　若A、B都在軸同旁時，∠AQB＝00，故不合題意，舍去． 　　所以，存在滿足題意的點Q，為(，0)或(－，0)　　14分