Question

已知函數
（Ⅰ）當a＜0時，證明：函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數；
（Ⅱ）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）用定義法證明先取任意的0＜x₁＜x₂，代入解析式作差，判斷差的符號，然后由定義得出結論．
（II）不等式恒成立，即f（x）_min＞0．因此利用（I）得出的單調性，進而得出它在[1，+∞）上的最小值，或不等式恒成立?x²+x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立，再研究y=x²+x+a的單調性．最后通過解不等式2+a＞0，即可得出答案．
解答：解：（Ⅰ）
設任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，…（1分）
=…（4分）
∵0＜x₁＜x₂，a＜0，
∴．
即f（x₁）＜f（x₂）…（6分）
所以，函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，…（7分）
（Ⅱ）解法1：當a≥0，x∈[1，+∞）時，函數f（x）＞0，…（9分）
當a＜0時，由（Ⅰ）知：函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數，…（10分）
故當x=1時，f（x）_min=2+a，…（12分）
于是當且僅當f（x）_min=2+a＞0，函數f（x）＞0恒成立，故-2＜a＜0．
綜上所述，所求實數a的取值范圍是（-2，+∞）…（14分）
解法2：：，x∈[1，+∞）恒成立，?x²+x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立．…（9分）
設y=x²+x+a，x∈[1，+∞）
∵，在區間[1，+∞）上是增函數，…（10分）
∴當x=1時，f（x）_min=2+a，…（12分）
于是當且僅當f（x）_min=2+a＞0，函數f（x）＞0恒成立，故a＞-2．
所以，所求實數a的取值范圍是（-2，+∞）．…（14分）
點評：本題考查函數恒成立問題及函數單調性的判斷與證明．用定義法證明函數的單調性要注意證明的格式即：作取，作差，整理，判號，得出結論．