Question

已知曲線過上一點作一斜率為的直線交曲線于另一點，點列的橫坐標構成數列，其中．
（I）求與的關系式；
（II）令，求證：數列是等比數列；
（III）若（λ為非零整數，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*,都有c_n+1＞c_n成立。

Answer 1

（1）
（2） ，q=-2;
（III）見解析

第一問中，利用數列的首項和直線的方程可以得到的關系得到。
第二問中，利用第一問中的關系式，表示，然后得到分式函數，化簡可得
解：過的直線方程為
聯立方程消去y得
∴即
（2）
∴是等比數列 ，q=-2;
（III）由（II）知，，要使恒成立由恒成立， 
即（－1）ⁿλ＞-（）^n－1恒成立．
ⅰ。當n為奇數時，即λ<（）^n－1恒成立．
又（）^n－1的最小值為1．∴λ<1．                          10分
ⅱ。當n為偶數時，即λ>－（）^n-1恒成立，又－（）^n－1的最大值為－，∴λ>－．  11分即－<λ<1，又λ≠0，λ為整數，∴λ＝－1，使得對任意n∈N*,都有_．