Question

【題目】已知向量 =（cosx，cosx）， =（sinx，﹣cosx），記函數f（x）=2 +1，其中x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及函數f（x）的圖象的對稱中心的坐標；
（Ⅱ）若α∈（0， ），且f（ ）= ，求cos2α的值．

Answer 1

【答案】解：f（x）=2（sinxcosx﹣cos2x）+1=sin2x﹣cos2x= sin（2x﹣ ）．
（Ⅰ）函數f（x）的最小正周期T= ．
令2x﹣ =kπ，解得x= ，
∴函數f（x）的圖象的對稱中心的坐標是（ ，0）．
（Ⅱ）∵f（ ）=sinα﹣cosα= ，∴1﹣2sinαcosα= ，
∴2sinαcosα= ．
∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα= ，
∵α∈（0， ），∴sinα+cosα= ．
又cosα﹣sinα=﹣ ，
∴cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=﹣
【解析】（I）根據平面向量的數量級定義得出f（x）解析式并利用二倍角公式化簡，根據正弦函數的性質列出方程解出對稱中心；（II）由f（ ）可得cosα﹣sinα，兩邊平方得出2sinαcosα，從而得出cosα+sinα，代入二倍角公式即可求得cos2α．